Question

某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为2人．
（1）估计这所学校成绩在90～140分之间学生的参赛人数；
（2）估计参赛学生成绩的中位数；
（3）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组，若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求出的两人为“黄金搭档组”的概率．

Answer

（1）先求学校的总人数，再求90～140分之间的频率，总人数乘以此频率即为所求．
（2）由频率分布直方图，结合求中位数和平均数的方法，即可找到众数，求得中位数和平均数．
（3）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果．
【解析】
（1）∵130～140分数段的人数为2人
又130～140分数段的频率为：0.005×10=0.05
∴90～140分之间的人数为2÷0.05=40人．
（2）90～100，100～110，110～120，120～130，130～140之间的人数依次为：
40×10×0.01=4人，40×10×0.025=10人，40×10×0.045=18人，40×10×0.015=6人，2人
∴参赛学生成绩的中位数的估计值为+110=≈113分．
（3）第一组共有40×0.01×10=4人，记作A1、A2、A3、A4；
第五组共有2人，记作B1、B2
从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、
{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}；{A1，B1}、{A2，B1}、{A3，B1}、
{A4，B1}；{A1，B2}、{A2，B2}、{A3，B2}、{A4，B2}；{B1，B2}．共有15种结果，
设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．
若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，
故P（A）=．