Question

已知函数f（x）=x³-3ax-1在x=-1处取得极值．
（1）求a的值，并求f（x）在区间[-2，3]上的值域．
（2）若直线y=9x+m与y=f（x）的图象有三个不同的公共点，求m的取值范围．

Answer

（1）已知函数f（x）=x3-3ax-1，对其进行求导，根据极值点，可知f′（-1）=0，求出a的值，根据导数研究函数的最值问题；
（2）直线y=9x+m与y=f（x）的图象有三个不同的公共点，对f（x）进行求导，求出其极值点，求出切点坐标，从而求出切线方程，求出截距，从而求解；
【解析】
（1）f'（x）=3x2-3a，
∴f'（-1）=0⇒a=1，
f'（x）=3（x2-1）=3（x+1）（x-1）＞0⇒x＞1或x＜-1；
f'（x）＜0⇒-1＜x＜1．
在区间[-2，3]上的单调递增区间分别为[-2，-1]、[1，3]；
递减区间为（-1，1）…（6分）
∴y极大值=f（-1）=1，y极小值=f（1）=-3，又f（-2）=-3，f（3）=17，
∴值域为[-3，17]…（8分）
（2）在函数f（x）的图象上与直线y=9x+m平行的切线共有两条，
当直线两切线之间时，该直线与函数f（x）的图象有三个不同的交点．
由f′（x）=3（x2-1）=9⇒x=±2，故切点坐标为（-2，-3），（2，1），
切线方程分别为：y+3=9（x+2），它们在y轴上的截距分别为15、-17，
∴m的取值范围为（-17，15）；