Question

设二次方程，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1
（1）试用a_n表示a_n+1；            
（2）证明是等比数列；
（3）设，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：（n∈N₊）．

Answer

（1）直接利用韦达定理求出两根之和以及两根之积，再代入6α-2αβ+6β=3整理即可得到结论；
（2）对（1）的结论两边同时减去整理即可证是等比数列；
（3）确定{cn}的通项，由此利用错位相减法，即可证得结论．
（1）【解析】
∵二次方程，n∈N+有两根α和β，
∴由韦达定理得：α+β=，α•β=，
∵6α-2αβ+6β=3，a1=1，
∴6•-2•=3，
∴an+1=an+，n∈N+；
（2）证明：∵an+1=an+，∴an+1-=（an-），
∵a1=1，∴a1-=
∴是以为首项，为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）知，an-=
∴=
∴Tn=[1+2•+3•（）2+…+n•（）n-1]，
∴Tn=[1•+2•（）2+3•（）3+…+（n-1）•（）n-1+n•（）n]，
两式相减可得Tn=[1++（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n]
∴Tn=-•（）n-n•（）n+1，
∴Tn＜＜．