Question

已知抛物线C的顶点是坐标原点，对称轴是x轴，且点P（1，-2）在该抛物线上，A，B是该抛物线上的两个点．
（Ⅰ）求该抛物线的标准方程及焦点坐标；
（Ⅱ）若直线AB经过点M（4，0），证明：以线段AB为直径的圆恒过坐标原点；
（Ⅲ）若直线AB经过点N（0，4），且满足，求直线AB的方程．

Answer

（Ⅰ）设抛物线C的标准方程为y2=2px，p＞0．由点P（1，-2）在该抛物线上，能求出该抛物线的标准方程及焦点坐标．
（Ⅱ）设原点为O，A（x1，y1），B（x2，y2），AB直线方程为y=m（x-4），代入抛物线方程得：m2•（x-4）2=4x，m2x2-（8m2+4）x+16m2=0，利用韦达定理结合题设条件能够证明以线段AB为直径的圆恒过坐标原点．
（Ⅲ）A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，即A为线段BN的定比分点，λ=3，由此能求出直线AB方程．
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线C的顶点是坐标原点，对称轴是x轴，且点P（1，-2）在该抛物线上，
∴设抛物线C的标准方程为y2=2px，p＞0．
∵点P（1，-2）在该抛物线上，
∴4=2p，解得p=2，
∴该抛物线的标准方程为y2=4x，焦点坐标为F（1，0）．
（Ⅱ）设原点为O，A（x1，y1），B（x2，y2），AB直线方程为y=m（x-4），
代入抛物线方程得：m2•（x-4）2=4x，m2x2-（8m2+4）x+16m2=0，
则x1+x2=，x1x2=16，
y1+y2=m（x1+x2-8）=，
y1y2=m2（x1-4）（x2-4）=-16
AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2=（x1+x2）2-4x1x2+（y1+y2）2-4y1y2
=-64+16-m2+64
=，
OA2+OB2=+++=（x1+x2）2-2x1x2+（y1+y2）2-2y1y2
=-32+16-m2+32==AB2．
所以，以线段AB为直径的圆恒过坐标原点．
（Ⅲ）A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得，
即A为线段BN的定比分点，λ=3，
∴，，
∵=4x2，①
（）2=4x1=x2，②
解得x2=4，y2=-4，
∴B（4，-4），
∵AB过N（0，4），
∴直线AB方程：，即 2x+y-4=0．