Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，底面A₁B₁C₁D₁ 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA₁上任意一点．
（Ⅰ）证明：BD⊥EC₁；
（Ⅱ）如果AB=2，AE=，OE⊥EC₁，求AA₁ 的长．

Answer

（Ⅰ）连接AC，AE∥CC1，推出底面A1B1C1D1是正方形．然后证明BD⊥平面EACC1，即可证明BD⊥EC1；
（Ⅱ）通过△OAE∽△EA1C1，利用已知条件以及，求出AA1 的长．
【解析】
（Ⅰ）连接AC，AE∥CC1，⇒E，A，C，C1共面，
长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形．
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A，⇒BD⊥平面EACC1，⇒BD⊥EC1；
（Ⅱ）在矩形ACC1A1中，OE⊥EC1，⇒△OAE∽△EA1C1，
AB=2，AE=得⇔，AA1=3．