Question

对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，如[4.3]=4、[-2.3]=-3、[4]=4，函数f（x）=[x]叫做“取整函数”，也叫做高斯（Gauss）函数．这个函数在数学本身和生产实践中都有广泛的应用．
从函数f（x）=[x]的定义可以得到下列性质：x-1＜[x]≤x＜[x+1]；与函数f（x）=[x]有关的另一个函数是g（x）={x}，它的定义是{x}=x-[x]，函数g（x）={x}叫做“取零函数”，这也是一个常用函数．
（1）写出f（5.2）的值及g（x）的值域；
（2）若F（n）=f（log₂n）（1≤n≤2¹⁰，n∈N），写出F（x）的解析式；
（3）求F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）的值．

Answer

（1）根据“取整函数”的定义，及“取零函数”的定义，可得当x为非负数或负整数时，g（x）值即为x的小数部分当x为负非整数时，g（x）值即为x的小数部分与1的和，进而得到f（5.2）的值及g（x）的值域；
（2）根据“取整函数”的定义，及对数的运算性质，分类讨论，可得F（x）的分段函数形式的解析式
（3）结合（2）中函数的解析式，代入分别计算出F（1），F（2），F（3），…，F（16）的值，进而得到F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）的值．
【解析】
（1）∵f（x）=[x]
∴f（5.2）=[5.2]=5
由“取整函数”的定义及g（x）={x}=x-[x]，
当x为非负数或负整数时，g（x）值即为x的小数部分
当x为负非整数时，g（x）值即为x的小数部分与1的和
故g（x）的值域为[0，1）
（2）∵F（n）=f（log2n）（1≤n≤210，n∈N）
∴F（n）=
（3）由（2）得
F（1）+F（2）+F（3）+…+F（16）
=0+1+1+2+2+2+2+3+3+3+3+3+3+3+3+4
=38