Question

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是    ；
（实验班必做题）
函数f（x）=ax³-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0 成立，则a=    ．

Answer

（1）由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，其高为2，底面半径为1；下面是一个与圆锥底面同底的半球，半径为1．据此即可计算出答案；
（2）利用导数和分类讨论方法即可求出．
【解析】
（1）由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个圆锥，其高为2，底面半径为1；下面是一个与圆锥底面同底的半球，半径为1．
∴V==；
（2）利用分类讨论方法：
函数f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0 成立⇔[f（x）]min≥0，x∈[-1，1]．
由已知可得：f′（x）=3ax2-3，
①当a≤0时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在[-1，1]上单调递减，∴[f（x）]min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，与a≤0矛盾，故舍去；
②当0＜a≤1时，，由x∈[-1，1]可得≤0，即函数f（x）在[-1，1]上单调递减，∴[f（x）]min=f（1）=a-2≥0，解得a≥2，无解；
③当a＞1时，，由x∈[-1，1]可得≥0，即函数f（x）在[-1，1]上单调递增，∴[f（x）]min=f（-1）=4-a≥0，解得a≤4，∴1＜a≤4；
综上可知：1＜a≤4．