Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x²-3x+3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-（1+2m）x+1（m∈R）在上的最小值为-2，求m的值．

Answer

（1）令t=1-x，则x=1-t，利用换元法，根据f（1-x）=x2-3x+3．可得函数f（x）的解析式；
（2）根据（1）中函数f（x）的解析式，求出函数g（x）的解析式，进而根据二次函数的图象和性质，进行分类讨论，可得答案．
【解析】
（1）令t=1-x，则x=1-t
∵f（1-x）=x2-3x+3．
∴f（t）=（1-t）2-3（1-t）+3=t2+t+1．
即f（x）=x2+x+1．
（2）由（1）得g（x）=f（x）-（1+2m）x+1=x2-2mx+2=（x-m）2+2-m2，x∈
若m≥，则当x=m时，g（x）取最小值2-m2=-2，
解得m=2，或m=-2（舍去）
若m＜，则当x=时，g（x）取最小值-3m=-2，
解得m=（舍去）
综上可得：m=2