Question

若log_a6•log₆7•log₇8=-3，设函数f（x）=-a^2x+4a^x+5
（1）求a的值；
（2）当x≥-2时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈R时，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer

（1）利用对数的换底公式即可求出；
（2）通过换元利用二次函数的单调性即可解决；
（3）利用指数函数及复合函数的单调性及换元法即可求出．
【解析】
（1）∵loga6•log67•log78=-3，∴，∴．，∴lga=-lg2，∴；
（2）∵，可设，又x≥-2，∴0＜=4．
从而函数f（x）=-a2x+4ax+5可化为f（t）=-t2+4t+5=-（t-2）2+9，t∈（0，4]．
可知f（t）在（0，2]上单调递增，∴5＜f（t）≤9；
在[2，4]上单调递减，∴5≤f（t）≤9；
∴f（t）的值域为[5，9]．
即函数f（x）的值域为[5，9]．
（3）当x∈（-∞，-1]时，t=单调递减且值域为[2，+∞），
而函数f（t）=-（t-2）2+9在t∈[2，+∞）上单调递减，
故函数f（x）在x∈（-∞，-1]上单调递增，
因此函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1]．