Question

已知函数y=f（x）在定义域R上为减函数，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1，
（1）证明：函数y=f（x）是奇函数．
（2）求不等式f（log₂（x+2））+f（log₂x）＞3的解集．

Answer

（1）根据已知中对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）计算f（3）=3，结合函数y=f（x）在定义域R上为减函数，将不等式化为具体不等式，即可求得结论．
（1）证明：∵对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
令x=y=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0），∴f（0）=0
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数；
（2）【解析】
∵f（x+y）=f（x）+f（y），且f（1）=1
∴f（3）=3
∴不等式f（log2（x+2））+f（log2x）＞3等价于不等式f（log2（x+2））+f（log2x）＞f（3）
∵函数y=f（x）在定义域R上为减函数，
∴log2（x+2）+log2x＜3
∴，∴0＜x＜2
∴不等式的解集为（0，2）．