Question

将方程x+tanx=0的正根从小到大地依次排列为a₁，a₂，…，a_n，…，给出以下不等式：①；②；③2a_n+1＞a_n+2+a_n；④2a_n+1＜a_n+2+a_n；其中，正确的判断是    ．（请写出正确的序号）

Answer

在同一坐标系中分别画出直线y1=-x及正切曲线y2=tanx的图象，借助图象分析方程x+tanx=0的正根的分布情况及变化规律，进而可得答案．
【解析】
分别作直线y1=-x及正切曲线y2=tanx的图象如图所示：
则两者的交点即为x+tanx=0的根
则在正切函数的每一个周期π内，y1与y2都有一个交点，
由图可得两个交点横坐标之间的差大于正切函数的半个周期，
但不超过正切函数的一个周期
∴＜an+1-an＜π，故②对①错．
从原点向右距离越来越大
∴an+2-an+1＞an+1-an，即：2an+1＜an+2+an；
故④对③错．
故答案为：②④．