Question

如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知a₁₂=1，，又设第一行数列的公差为d₁．
（Ⅰ）求出a₁₁，d₁及q；
（Ⅱ）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列a_nn的表达式，并求S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

Answer

（Ⅰ）仔细观察图表，由题设条件知，由此能求出求出a11，d1及q．
（Ⅱ）由图表中的规律，知=，由此利用错位相减法能求出Sn=a11+a22+a33+…+ann的值．
（本题满分13分）
【解析】
（Ⅰ）∵9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，
每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，
a12=1，，设第一行数列的公差为d1．
∴，
解得．
（Ⅱ）因为=，
∴①②
由①-②，得，
∴．