Question

已知函数，且f（4）=3．
（1）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论．

Answer

（1）由函数，且f（4）=3，可求出n值，进而得到函数的解析式，结合函数奇偶性的定义，分析f（-x）与f（x）的关系，可得答案．
（2）由（1）中函数的解析式，任取x1，x2，且0＜x1＜x2，作差判断f（x1）与f（x2）的大小，进而结合函数单调性的定义，可得答案．
【解析】
（1）由f（4）=3得：n=1．…（2分）
∴，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．…（3分）
又．…（5分）
∴函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数．…（6分）
（2）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（7分）
证明如下：
任取x1，x2，且0＜x1＜x2，…（8分）
则x1-x2＜0，x1x2＞0
那么=
即f（x1）＜f（x2）．…（13分）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．…（14分）