Question

已知函数的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明．

Answer

（1）由题意得，f（x）是奇函数，得f（-x）+f（x）=0，代入解析式再用比较系数法，可得m=-1；
（2）令对数的真数为t，利用单调性的定义可以证出t（x）在区间（1，+∞）上是减函数，再用复合函数单调性可得原函数在区间（1，+∞）上的单调性．
【解析】
（1）∵函数的图象关于原点对称
∴函数为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，即+=0对定义域内任意x都成立，
即=loga1，=1对定义域内任意x都成立，
∴m2=1，得m=±1，经检验m=1不符合题意舍去，所以m的值为-1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数，证明如下
由（1）得，（x＞1）
设t=，再令1＜x1＜x2，则t1=，t2=，
可得t1-t2=-=＞0，有t1＞t2，
∴函数t=是（1，+∞）上的减函数．
根据复合函数单调性法则，得：当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；
当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数．