Question

过点P（4，2）作相互垂直的直线l₁和l₂，使得l₁与x轴的正半轴相交于点A，l₂与y轴的正半轴相交于点B，若直线AB平分四边形OAPB的面积，求直线AB的方程．

Answer

设A（a，0）、B（0，b）．得到直线AB，由题知PA⊥PB即直线MA与直线MB的斜率乘积为-1，得到a与b的关系式；又因为四边形OAPB的面积被直线AB平分得到M到直线AB与O到直线AB的距离相等得到a与b的关系式，两者联立求出a和b即可得到直线AB的方程．
【解析】
由题意，设A（a，0）、B（0，b）．则直线AB方程为（a＞0，b＞0），
∵，PA⊥PB，∴×=-1，化简得b=10-2a．
∵b＞0，∴0＜a＜5．直线AB的一般式方程为bx+ay-ab=0
∴点P（4，2）到直线AB的距离为d1=．
又∵原点O到直线AB的距离为d2=，
∵四边形OAPB的面积被直线AB平分，∴d1=d2，
∴4b+2a-ab=±ab，又∵b=10-2a．
解得或，
∴所求直线AB的方程为x+2y-4=0或2x+y-5=0．