Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、AA₁的中点，求证：
（1）BD₁∥平面AEC；
（2）平面BD₁F∥平面AEC．

Answer

（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线与BD1平行，根据中位线定理可找到满足条件的直线得到结论；
（2）要证明平面BD1F∥平面AEC，只需证明平面BD1F中两相交直线分别平行平面AEC，由（1）知BD1∥平面EAC，故只证明FD1∥平面AEC，由平行四边形的性质可证．
证明：（1）连接BD交AC于H，连EH．
因为H为正方形ABCD对角线的交点，
所长H为AC、BD的中点．
在△DD1B中，E、H分别为DD1、DB的中点，
所以EH∥D1B．
又EH⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．
（2）因为F、E分别为A1A、DD1的中点，所以AF∥ED1，AF=ED1，
所以四边形AFD1E为平行四边形，FD1∥AE，AE⊂平面AEC，FD1⊄平面AEC，
所以FD1∥平面AEC，
由（1）知，BD1∥平面AEC，且BD1∩FD1=D1，
所以平面BD1F∥平面AEC．