Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）（x∈R）的最小值为f（-1）=0，
（1） 求实数a、b的值；
（2） 当x∈[-2，2]时，求函数ϕ（x）=ax²+btx+1的最大值g（t）．

Answer

对于（1）由条件f（-1）=0，代入f（x）得到等式a-b+1=0，又因为函数在-1处取得最小值，则-1为对称轴，由2个等式可以解出a、b的值．
对于（2）求最大值可先求出对称轴，然后判断对称轴在区间中的位置，对于此函数，离对称轴较远的函数值较大，求出最大值即可．
【解析】
（1）由题意f（-1）=0可得f（-1）=a-b+1=0且在对称轴处取得最小值：．
解得：a=1，b=2．
（2）由第一问可得a=1，b=2因此ϕ（x）=x2+2tx+1，其对称轴为x=-t
由简单图象可知：
当t≤0时，对称轴x≥0，此时g（t）=ϕ（-2）=5-4t
当t＞0时，对称轴x＜0，，此时g（t）=ϕ（2）=5+4t
∴．