Question

已知f，且f（x）=
（1）当a=1时，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
（3）当2≤a＜9时，设f（x）=f₂（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．

Answer

（1）当a=1时，根据函数f1（x）和函数f2（x）的解析式以及条件f（x）=可得f（x）的解析式．
（2）在（1）的条件下，由题意可得，函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点，数形结合可得实数m的范围．
（3）由于2≤a＜9，分 x≥时、当0≤x≤时、当x＜0时，分别由 f2（x）-f1（x）≤0 求得x的范围，再把所得的x的范围取并集，从而得到区间长度l的解析式，
再根据函数的单调性求得l的最大值．
【解析】
（1）当a=1时，f1（x）=，f2（x）=，∴当x=log35时，f1（x）=f2（x）．
∴f（x）=．
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，则函数y=f（x）与直线y=m有4个不同的交点．
数形结合可得，0＜m＜1，故实数m的范围是（0，1）．
（3）由于2≤a＜9，当 x≥时，∵a•3x-9≥0，3x-1＞0，
∴由 f2（x）-f1（x）=（a•3x-9）-（ 3x-1）≤0 可得 x≤，
从而当≤x≤ 时，f（x）=f2（x）．
当0≤x≤时，∵a•3x-9＜0，3x-1≥0，
∴由 f2（x）-f1（x）=-（a•3x-9）-（ 3x-1）=10-（a+1）3x≤0 解得 x≥，
从而当 ≤x≤时，f（x）=f2（x）．
当x＜0时，由 f2（x）-f1（x）=-（a•3x-9）-（1-3x）=8-（a-1）3x＞0，故f（x）=f2（x） 一定不成立．
综上可得，当且仅当 x∈[，]时，有f（x）=f2（x） 一定成立．
故 l=-=，
从而当a=2时，l取得最大值为 ．