Question

已知函数f（x）=．
（1）证明：f（x）在R上单调增；
（2）判断f（x）与f（-x）的关系，若对任意的t∈[1，3]，不等式f（t²-2kt）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）f（x）=1-，利用函数单调性的定义即可证明；
（2）由定义可判断f（x）为奇函数，利用函数的奇偶性及单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式恒成立问题，
进而转化为函数最值问题即可解决．
【解析】
（1）f（x）=1-，
在R上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（1-）-（）
=，
因为x1＜x2，所以0＜＜，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增．
（2）f（-x）===-=-f（x），
即f（x）=-f（-x），
不等式f（t2-2kt）+f（2t2-k）＞0可化为f（2t2-k）＞-f（t2-2kt），即f（2t2-k）＞f（2kt-t2），
又f（x）在R上单调递增，所以2t2-k＞2kt-t2，即3t2-2kt-k＞0，
则问题转化为不等式3t2-2kt-k＞0在t∈[1，3]上恒成立，也即k＜在t∈[1，3]上恒成立，
令g（t）=t∈[1，3]，则g′（t）=＞0，
所以g（t）在[1，3]上单调递增，g（t）min=g（1）=1，
所以k＜1，即k的取值范围是（-∞，1）．