Question

如图，椭圆E：的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=．过F₁的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF₂的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆E的方程．
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相较于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得4a=8，即a=2，利用e=，b2=a2-c2=3，即可求得椭圆E的方程．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，利用动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x，y），可得m≠0，△=0，进而可得P（，），由得Q（4，4k+m），取k=0，m=；k=，m=2，猜想满足条件的点M存在，只能是M（1，0），再进行证明即可．
【解析】
（Ⅰ）∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=，∴c=1
∴b2=a2-c2=3
∴椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由，消元可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0
∵动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P（x，y）
∴m≠0，△=0，∴（8km）2-4×（4k2+3）×（4m2-12）=0
∴4k2-m2+3=0①
此时x==，y=，即P（，）
由得Q（4，4k+m）
取k=0，m=，此时P（0，），Q（4，），以PQ为直径的圆为（x-2）2+（y-）2=4，交x轴于点M1（1，0）或M2（3，0）
取k=，m=2，此时P（1，），Q（4，0），以PQ为直径的圆为（x-）2+（y-）2=，交x轴于点M3（1，0）或M4（4，0）
故若满足条件的点M存在，只能是M（1，0），证明如下
∵
∴
故以PQ为直径的圆恒过x轴上的定点M（1，0）