Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=2．
（1）求证：AD⊥平面PQB；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积
（3）在线段PC上是否存在点M，使PA∥平面MQB；若存在，求出PM：PC的值．

Answer

（1）利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的判定定理证明PQ为此四棱锥的高即可；
（3）利用线面平行的判定定理即可找出和证明．
【解析】
（1）证明：连BD，四边形ABCD菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD为正三角形，
又Q为AD中点，∴AD⊥BQ．
∵PA=PD，Q为AD的中点，AD⊥PQ．
又BQ∩PQ=Q，
∴AD⊥平面PQB．
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊂平面PAD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，PQ是四棱P-ABCD的高，
∵，S菱形ABCD=22×sin60°=，
∴V四棱锥P-ABCD=．
（3）存在，当时，PA∥平面MQB．
由AQ∥BC可得：，
∵，∴PA∥MN，
又PA⊄平面MQB，MN⊂平面MQB．
∴PA∥平面MQB．