Question

已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．

Answer

（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义||AF1|-|AF2||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．
【解析】
（1）由已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）
由双曲线定义||AF1|-|AF2||=2a，
∴
∴，
∴b2=2
∴所求双曲线为…（6分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上
∴，两方程相减得：得（x1-x2）（x1+x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0
∴，
∴
∴弦AB的方程为即x-2y+3=0
经检验x-2y+3=0为所求直线方程．…（12分）