(I)连接AD1,根据正方体的几何特征可得四边形ABC1D1是平行四边形,进而根据E,F分别是AD,DD1的中点,由三角形中位线定理可得AD1∥EF,最后由线面平行的判定定理得到EF∥平面A1BC1;
(Ⅱ)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,过Q作QP∥CB交BC1于点P,推出A1P⊥C1D,证明A1P⊥C1D,推出△D1C1Q∽Rt△C1CD,再求求线段A1P的长.
证明:(Ⅰ)连接AD1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,
,则四边形ABC1D1是平行四边形,
∴AD1∥BC1,
又∵E,F分别是AD,DD1的中点
∴AD1∥EF,
∴EF∥BC1,又EF⊄面A1BC1,BC1⊂面A1BC1,
∴EF∥平面A1BC1(3分)
【解析】
(II)在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q,
过Q作QP∥CB交BC1于点P,则A1P⊥C1D.(7分)
因为A1D1⊥平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,
∴C1D⊥A1D1,而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1,
又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQC1,
且A1P⊂平面A1PQC1,∴A1P⊥C1D.(10分)
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD,
∴=,∴C1Q=
又∵PQ∥BC,
∴PQ=BC=1.
∵四边形A1PQD1为直角梯形,且高D1Q=,
∴A1P==.(14分)