Question

在数列{a_n}中，a₁=-，a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
（1）证明数列{a_n+n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和s_n；
（3）比较S_n+1与2Sn（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer

（1）通过数列的递推关系式，构造新数列，即可证得等比数列；
（2）确定数列的通项公式，利用分组求和，即可求得结论；
（3）作差，分类讨论，确定正负，即可得到结论．
（1）证明：因为an+1=2an+n-1（n∈N*），所以an+1+（n+1）=2（an+n）（n∈N*），
所以数列{an+n}是以a1+1=为首项，2为公比的等比数列；
（2）【解析】
∵数列{an+n}是以a1+1=为首项，2为公比的等比数列
∴an+n=×2n-1=2n-2，即an=2n-2-n，
∴数列{an}的前n项和为Sn=-=；
（3）【解析】
对任意的n∈N*，Sn+1-2Sn=-2[]=
当n∈N*时，是增函数，
n=1时，=-＜0，即Sn+1-2Sn＜0，所以Sn+1＜2Sn；
n=2时，=＞0，即Sn+1-2Sn＞0，所以Sn+1＞2Sn；
n＞2时，＞＞0，即Sn+1-2Sn＞0，所以Sn+1＞2Sn；
综上，当n=1时，Sn+1＜2Sn；当n≥2时，Sn+1＞2Sn．