Question

已知椭圆
（1）过椭圆上点P作x轴的垂线PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，求线段PD中点M的轨迹方程；
（2）若直线x-y+m=0与已知椭圆交于A、B两点，R（0，1），且|RA|=|RB|，求实数m的值．

Answer

（1）确定P、M坐标之间的关系，利用点P在椭圆上，即可求得线段PD中点M的轨迹E的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论．
【解析】
（1）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意x=x′，y=
∴x′=x，y′=2y
又点P在上，∴，即
∴线段PD的中点M轨迹方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
直线x-y+m=0与已知椭圆方程联立，消去y可得
∴x1+x2=-
∴y1+y2=x1+x2+2m=
∴AB的中点坐标为（-）
∵R（0，1），且|RA|=|RB|，
∴
∴