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已知圆心为C的圆方程是x2+y2-2y+m=0 (1)如果圆与直线y=0没有公共...

已知圆心为C的圆方程是x2+y2-2y+m=0
(1)如果圆与直线y=0没有公共点,求实数m的取值范围;
(2)如果圆过坐标原点,直线l过点P(0,a) (0≤a≤2),且与圆C交于A,B两点,对于每一个确定的a,当△ABC的面积最大时,记直线l的斜率为k,试求k的最大值.
(1)将圆方程化为标准方程,列出关于m的不等式,求出不等式的解集得到m的范围,再由圆C与直线y=0没有公共点,得到半径小于圆心的纵坐标的绝对值,又列出关于m的不等式,求出不等式的解集,即可确定出实数m的范围; (2)由圆过原点,将原式坐标代入圆方程求出m的值,确定出圆的方程,进而得出圆心坐标与半径,当a=1时,直线l过圆心C,三角形ABC不存在,故a不能为1,确定出a的范围,由题意可设直线l的方程为y=kx+a,△ABC的面积为S,利用三角形的面积公式表示出S,可得当sin∠ACB最大时,S取得最大值,要使sin∠ACB=1,只需点C到直线l的距离等于,利用点到直线的距离公式列出关系式,根据完全平方式为非负数,求出a的范围,根据a的范围分两种情况考虑,分别根据二次函数的性质及三角函数的性质求出各自k的值,即可确定出k的最大值. 【解析】 (1)由x2+y2-2y+m=0可得:x2+(y-1)2=1-m, ∵x2+(y-1)2=1-m表示圆, ∴1-m>0,即m<1, 又∵圆C与直线y=0没有公共点, ∴1-m<1,即m>0. 综上,实数m的取值范围是0<m<1; (2)∵圆C过坐标原点,∴m=0, ∴圆C的方程为x2+(y-1)2=1,圆心C(0,1),半径为1, 当a=1时,直线l经过圆心C,△ABC不存在,故a∈[0,1)∪(1,2]; 由题意可设直线l的方程为y=kx+a,△ABC的面积为S, 则S=|CA|•|CB|•sin∠ACB=sin∠ACB, ∴当sin∠ACB最大时,S取得最大值, 要使sin∠ACB=1,只需点C到直线l的距离等于,即=, 整理得k2=2(a-1)2-1≥0, 解得:a≤1-或a≥1+, ①当a∈[0,1-]∪[1+,2]时,sin∠ACB最大值是1, 此时k2=2a2-4a+1,当a=2或a=0时,k取最大值1; ②当a∈(1-,1)∪(1,1+)时,∠ACB∈(,π), ∵y=sinx是(,π)上的减函数, ∴当∠ACB最小时,sin∠ACB最大, 过C作CD⊥AB于D,则∠ACD=∠ACB, ∴当∠ACD最大时,∠ACB最小, ∵sin∠CAD==|CD|,且∠CAD∈(,π), ∴当|CD|最大时,sin∠ACD取得最大值,即∠CAD最大, ∵|CD|≤|CP|,∴当CP⊥l时,|CD|取得最大值|CP|, ∴当△ABC的面积最大时,直线l的斜率k=0, 综上所述,k的最大值是1.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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