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已知椭圆及点,过点M作直线l交椭圆于P,Q两点. (1)若M是弦PQ的中点,求直...

已知椭圆manfen5.com 满分网及点manfen5.com 满分网,过点M作直线l交椭圆于P,Q两点.
(1)若M是弦PQ的中点,求直线PQ的方程;
(2)求证:以线段PQ为直径的圆恒过椭圆上一定点A,并求出定点A的坐标.
(1)设出直线PQ的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,结合M是弦PQ的中点,即可求得结论; (2)A在以PQ为直径的园上,则AP⊥AQ,于是向量的数量积▪=0,由此化简可得结论. (1)【解析】 设过M的直线的方程为y=k(x+)-=kx+ 代入椭圆方程得:x2+3(kx+)2=12;展开化简得: (1+3k2)x2+3k(3k-1)x+=0 即有(1+3k2)x2+3k(3k-1)x+=0 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= ∵是弦PQ的中点, ∴=-3 ∴k=-1 ∴直线PQ的方程为y=-x-2,即x+y+2=0; (2)证明:设A(m,n),A在椭圆上,其坐标满足椭圆方程,即…(1) 如果A在以PQ为直径的园上,则AP⊥AQ,于是向量的数量积▪=0; 即▪=(x₁-m)(x₂-m)+(y₁-n)(y₂-n)=x₁x₂-m(x₁+x₂)+m2+y₁y₂-n(y₁+y₂)+n2 =++m2+-+n2=0 去分母得9(3k-5)(k+1)+12mk(3k-1)+4m2(1+3k2)+(-39k2-6k+1)-4n(3k-1)+4n2(1+3k2)=0 化简整理得(12m2+36m+12n2-12)k2-(12m+12n+24)k+4m2+4n2+4n-44=0 12(m2+3m+n2-1)k2-12(m+n+2)k+4(m2+n2+n-11)=0…(2) 令m2+3m+n2-1=0…(3) m+n+2=0…(4) m2+n2+n-11=0…(5) (3)-(5)得3m-n+10=0…(6) (4)+(6)得4m+12=0,故得m=-3;代入(5)式得n=1; 由此可见,当m=-3,n=1时,(2)是恒等式;而(-3,1)满足方程(1),即(-3,1)在椭圆上. 这就证明了无论直线的k为何值,以弦PQ为直径的圆一定过椭圆上的定点A(-3,1).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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