Question

（1）求证：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）求证：．

Answer

（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，2n+2•3n+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除；②假设n=k时，2k+2•3k+5k-4能被25整除，由此导出当n=k+1时，2k+3•3k+1+5（k+1）-4能被25整除即可．
（2））由==，能够证明=．
证明：（1）用数学归纳法证明：
①当n=1时，2n+2•3n+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除，成立；
②假设n=k时，成立，即2k+2•3k+5k-4能被25整除，
则当n=k+1时，2k+3•3k+1+5（k+1）-4=6（2k+2•3k）+5k+5-4
=（2k+2•3k+5k-4）+5（2k+2•3k）+5
=（2k+2•3k+5k-4）+20•6k+5，
∵2k+2•3k+5k-4能被5整除，20•6k+5能被25整除，
∴（2k+2•3k+5k-4）+20•6k+5能被25整除，即n=k+1时成立．
由①②知2n+2•3n+5n-4能被25整除．
（2）∵===，
∴
=[-++…+（-1）nC]，
当n为奇数时，-++…+（-1）nC
=（）-（）
==1．
当n为偶数时，-++…+（-1）nC
=（++…+）+（++…+C
==1．
∴[-++…+（-1）nC]=．
∴．