Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=1，AA₁=2，D是AA₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线A₁C₁与B₁D所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-B₁D-B的大小；
（Ⅲ）在B₁C上是否存在一点E，使得DE∥平面ABC？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）以B为原点，BC、BA、BB1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，再求得相关向量的坐标，最后利用夹角公式求解．
（Ⅱ）直三棱柱的结构特征，得到B1B⊥BC，再由AB⊥BC，得到BC⊥平面ABB1D．从而有BD⊥B1D，所以BD是CD在平面ABB1D内的射影，∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．
（Ⅲ）由D为中点，则设E为B1C的中点，G为BC的中点，有EG∥BB1，再由，AD∥BB1，且，得到四边形ADEG为平行四边形，从而有DE∥AG，从而有DE∥平面ABC结论．
【解析】
（Ⅰ）如图，以B为原点，BC、BA、BB1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），
B1（0，0，2），C1（1，0，2），A1（0，1，2），D（0，1，1），
∵，
∴，
∴异面直线A1C1与B1D所成的角为60°．

（Ⅱ）【解析】
∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴B1B⊥BC，
又AB⊥BC，AB∩BB1=B，∴BC⊥平面ABB1D．
如图，连接BD，
在△BB1D中，∵，
∴BD2+B1D2=BB12，即BD⊥B1D，
∵BD是CD在平面ABB1D内的射影，
∴CD⊥B1D，∴∠CDB为二面角C-B1D-B的平面角．
∵，
∴，
∴二面角C-B1D-B的大小为；

（Ⅲ）答：在B1C上存在一点E，使得DE∥平面ABC，此时．
以下给出证明过程．
证明：如图，设E为B1C的中点，G为BC的中点，连接EG，AG，ED，
在△BCB1中，∵BG=GC，B1E=EC，∴EG∥BB1，且，
又AD∥BB1，且，
∴EG∥AD，EG=AD，
∴四边形ADEG为平行四边形，∴DE∥AG，
又AG⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，
∴DE∥平面ABC．