Question

设等比数列{a_n}的公比为q，前n项和S_n＞0（n=1，2，…）．
（Ⅰ）求q的取值范围；
（Ⅱ）设，记{b_n}的前n项和为T_n，试比较S_n与T_n的大小．

Answer

（Ⅰ）设等比数列通式an=a1q（n-1），根据S1＞0可知a1大于零，当q不等于1时，根据sn=＞0，进而可推知1-qn＞0且1-q＞0，或1-qn＜0且1-q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．
（Ⅱ）把an的通项公式代入，可得an和bn的关系，进而可知Tn和Sn的关系，再根据（1）中q的范围来判断Sn与Tn的大小．
【解析】
（Ⅰ）设等比数列通式an=a1q（n-1）
根据Sn＞0，显然a1＞0，
当q不等于1时，前n项和sn=
所以＞0 所以-1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1
当q=1时 仍满足条件
综上q＞0或-1＜q＜0
（Ⅱ）∵
∴bn=
=anq2-anq
=an（2q2-3q）
∴Tn=（2q2-3q）Sn
∴Tn-Sn=Sn（2q2-3q-2）=Sn（q-2）（2q+1）
又因为Sn＞0，且-1＜q＜0或q＞0，
所以，当-1＜q＜-或q＞2时，Tn-Sn＞0，即Tn＞Sn；
当-＜q＜2且q≠0时，Tn-Sn＜0，即Tn＜Sn；
当q=-，或q=2时，Tn-Sn=0，即Tn=Sn．