Question

如图，多面体ABCDS中，面ABCD为矩形，SD⊥AD，且SD
（1）求证：CD⊥平面ADS；
（2）求二面角A-SB-D的余弦值．
（3）求点A到面SBC的距离．

Answer

（1）要证CD⊥平面ADS，只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可；
（2）过A作AE⊥DB于E  又过A作AF⊥SB于F，连接EF，可得∠AFB为二面角A-SB-D的平面角，解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值；
（3）根据AD∥BC，可得点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离，从而可得结论．
（1）证明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
又SD⊥AB，AB∥CD，则CD⊥SD
又∵AD∩SD=D
∴CD⊥平面ADS
（2）【解析】
∵△SAD中SD⊥AD，且SD⊥AB，AB∩AD=A
∴SD⊥面ABCD．
∴平面SDB⊥平面ABCD，BD为面SDB与面ABCD的交线．
过A作AE⊥DB于E，则AE⊥平面SDB，过A作AF⊥SB于F，连接EF，从而得：EF⊥SB
∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角
在矩形ABCD中，对角线BD=
∴在△ABD中，AE==
Rt△SDC中，SC=，Rt△SBC，SB=
而Rt△SAD中，SA=2，且AB=2，∴SB2=SA2+AB2，
∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角，
∴AF=AB=2
∴sin∠AFE==
∴所求的二面角的余弦值为；
（3）【解析】
∵AD∥BC，∴点A到面SBC的距离等于点D到面SBC的距离
∵SD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SD⊥BC
∵BC⊥CD，SD∩CD=D，∴BC⊥平面SDC
∴平面SBC⊥平面SDC
过D作DM⊥SC，垂足为M，则DM⊥平面SBC，即DM为点D到面SBC的距离
在△SDC中，SD=，CD=2，∴SC=，
∴DM==．