Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB，PD与平面ABCD所成角的正切值依次是1和，AP=2，E，F依次是PB，PC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）由E，F依次是PB，PC的中点，知EF∥BC，由底面ABCD是矩形，知BC∥AD，所以EF∥AD，由此能证明EF∥平面PAD．
（Ⅱ）由PA⊥平面AABCD，知CD⊥PA，由CD⊥AD，知CD⊥平面PAD，取PA中点G，CD中点H，由题设条件推导出∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角．由此能求出直线EC与平面PAD所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：在△PBC中，
∵E，F依次是PB，PC的中点，
∴EF∥BC，
∵底面ABCD是矩形，∴BC∥AD，
∴EF∥AD，
∵EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（Ⅱ）【解析】
∵PA⊥平面AABCD，∴CD⊥PA，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，
取PA中点G，CD中点H，连接EG、GH、GD，
则EG∥AB∥CD，且EG==1，∴EGHC是平行四边形，
∴∠HGD即为直线EC与平面PAD所成的角．
在Rt△GAD中，GH=，
sin∠HGD===，
∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为．