Question

f（x）=，g（x）=x³-3a²x-2a（a＞0），若对于任意x₁∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x₁）成立，则a的取值范围为    ．

Answer

由题意对于任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x1）成立，即g（x）的值域包含f（x）的值域，分别求值域，转化为集合的关系问题．
【解析】
设t=2-x，则t∈[1，2]，y=t+-16
∴y=t+-16在[1，2]上单调递减
∴-≤y≤-6
∴f（x）值域[-，-6]，
∵g（x）=x3-3a2x-2a（a＞0），∴g′（x）=3x2-3a2=3（x+a）（x-a）
若0＜a≤，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a2-2a，-2a3-2a]；
若＜a＜1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[-2a，-2a3-2a]；
若a≥1，则g（x）在x∈[0，1]上的值域[1-3a2-2a，-2a]；
由条件，对于任意x1∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得g（x）=f（x1）成立，
故只须g（x）的值域包含f（x）的值域
∴或或
∴
故答案为：