Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值；
（2）设=λ，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，求λ的值．

Answer

（1）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标，利用向量法能求出二面角D-B1C-B的余弦值．
（2）由=λ，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，利用向量法能求出λ的值．
【解析】
（1）以CA，CB，CC1分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，
因为AC=3，BC=4，AA1=4
所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C1（0，0，4），B1（0，4，4），
因为 D是AB的中点，所以，
所以，，
平面CBB1C1的法向量 n1=（1，0，0），…（1分）
设平面DB1C的一个法向量n2=（x，y，z），
则n1，n2的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB1-B的大小，
由得令x=4，则y=-3，z=3，
所以n2=（4，-3，3）…（3分）
…（4分）
所以二面角D-B1C-B的余弦值为．…（5分）
（2）由（1）得=（-3，0，4），
因为，
所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以，…（7分）
因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为，
所以|cos＜，＞|==，
解得．…（10分）