Question

某城市自西向东和自南向北的两条主干道的东南方位有一块空地，市规划部门计划利用它建设一个供市民休闲健身的小型绿化广场，如下图所示是步行小道设计方案示意图，其中，Ox，Oy分别表示自西向东，自南向北的两条主干道．设计方案是自主干道交汇点O处修一条步行小道，小道为抛物线y=x²的一段，在小道上依次以点为圆心，修一系列圆型小道，这些圆型小道与主干道Ox相切，且任意相邻的两圆彼此外切，若x₁=1（单位：百米）且x_n+1＜x_n．
（1）记以P_n为圆心的圆与主干道Ox切于A_n点，证明：数列是等差数列，并求|OA_n|关于n的表达式；
（2）记⊙P_n的面积为S_n，根据以往施工经验可知，面积为S的圆型小道的施工工时为（单位：周）．试问5周时间内能否完成前n个圆型小道的修建？请说明你的理由．

Answer

（1）依题意可设⊙pn的半径，由题意可得|pnpn+1|=rn+rn+1，代入点的坐标整理可得，结合等差数列的通项公式可求，进而可求xn，即可求解
（2）由==，代入Tn==，利用放缩法及裂项即可求解和，可求
【解析】
（1）依题意可设⊙pn的半径
∵⊙pn与⊙pn+1相切
∴|pnpn+1|=rn+rn+1
∴=yn+yn+1
两边平方整理可得，
∵xn＞xn+1＞0
∴xn-xn+1=2xnxn+1
∴
∴{}是以1为首项，以2为公差的等差数列
∴=2n-1
∴即
（2）∵==
设前几个圆型小道的施工总时为Tn=
=
＜
=

==＜5
故5周内完成修建工作