Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）求BD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer

（1）在平面ABD1内，过A作AE⊥BD1，交BD1于E，连接CE，证明∠AEC为二面角A-BD1-C的平面角，利用余弦定理，可求二面角A-BD1-C的大小；
（2）利用等体积，求出BD1与平面ACD1的距离，即可求BD1与平面ACD1所成角的正弦值．
【解析】
（1）在平面ABD1内，过A作AE⊥BD1，交BD1于E，连接CE

△AD1B与△CD1B中，AB=BC，AD1=CD1，BD1=BD1，∴△AD1B≌△CD1B，
∴AE=CE
∵AE⊥BD1，∴CE⊥BD1，
∴∠AEC为二面角A-BD1-C的平面角
∵AB⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，∴AB⊥AD1，∴△ABD1是Rt△，
设正方体的棱长为1，AD1=，BD1=，
由等面积可得AE•BD1=AD1•AB，∴AE=，
在△AEC中，根据余弦定理，cos∠AEC==-
∴∠AEC=120°，即二面角A-BD1-C的大小为120°；
（2）设BD1与平面ACD1所成角为θ，BD1与平面ACD1的距离为h，则
由可得
∴h=
∵，∴sinθ==
∴BD1与平面ACD1所成角的正弦值为．