Question

已知椭圆过点，，P（x，y）是椭圆上任一点，O是坐标原点，△PAB椭圆C的内接三角形，且O是△PAB的重心．
（1）求a、b的值，并证明AB所在的直线方程为xx+2yy+1=0；
（2）探索△PAB的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．

Answer

（1）由椭圆过点，，能求出a、b的值．设线段AB的中点为M，A（x1，y1），B（x2，y2），由O是△PAB的重心，能证明直线AB的方程为xx+2yy+1=0．
（2）由，得，由此能求出|AB|=|x1-x2|=，由此能推导出△PAB的面积为定值．
【解析】
（1）∵椭圆过点，，
∴，解得，∴，…（2分）
设线段AB的中点为M，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵O是△PAB的重心，∴，
∴直线AB的方程为y+=-（x+），
又∵，
∴直线AB的方程转化为xx+2yy+1=0，
且当直线AB的斜率不存在时，，y=0，
直线AB的方程为x=，也符合方程xx+2yy+1=0．…（6分）
（2）由，得，
∴x1+x2=-x，，
∴|x1-x2|==|y|，
|AB|=|x1-x2|=，
P（x，y）到xx+2yy+1=0的距离d==，
∴S△PAB==•=，
∴△PAB的面积为定值…（12分）