Question

已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被抛物线C₂：y=x²-b截得的线段长等于C₁的长半轴长．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）设C₂与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l：y=kx与C₂相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C₁相交于D，E．
①证明：•为定值；
②记△MDE的面积为S，试把S表示成k的函数，并求S的最大值．

Answer

（1）由已知，根据a2=b2+c2，可得a=2b，又x轴被抛物线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长．
，从而可求得a=2，b=1，故可求C1，C2的方程；
（2）①由得x2-kx-1=0，从而可证明MA⊥MB，所以MD⊥ME，故•=0
②设A（x1，kx1），B（x2，kx2），可求得直线AM、BM的方程，分别代入，从而求得D，E的坐标，进而可得面积，令，从而，借助于函数的单调性可求S的最大值．
【解析】
（1）由已知，
又a2=b2+c2，可解得a=2b  ①
在y=x2-b中，令y=0，得
∴②
由①②得，a=2，b=1
∴，
（2）①证明：由得x2-kx-1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴x1+x2=k，x1x2=-1
∵M（0，-1），
∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=
∴MA⊥MB
∴MD⊥ME
∴•=0
②【解析】
设A（x1，kx1），B（x2，kx2）
∵A在y=x2-1上，
∴
即∴，
∴，
∴直线AM方程为：y=x1x-1代入，得，
∴，同理
∴
令
∴
又在t∈[2，+∞）时，u为增函数，
∴，此时t=2
∴k=0时，