Question

如图，直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，C₁C=CB=CA=2，AC⊥CB．D、E分别为棱C₁C、B₁C₁的中点．
（1）求A₁B与平面A₁C₁CA所成角的正切值；
（2）求二面角B-A₁D-A的平面角的正切值．

Answer

（1）由A1B1C1-ABC是直三棱柱，知CC1⊥BC，再由AC⊥CB，知∠BA1C为A1B与平面A1C1CA所成的角，由此能求出A1B与平面A1C1CA所成角的正切值．
（2）分别延长AC，A1D交于G，过C作CM⊥A1G于M，连接BM，则∠CMB为二面角B-A1D-A的平面角，由此能求出二面角B-A1D-A的平面角的正切值．
【解析】
（1）∵A1B1C1-ABC是直三棱柱，∴C1C⊥底面ABC，
∴CC1⊥BC，
又∵AC⊥CB，CC1∩AC=C，
∴BC⊥平面A1C1CA，
∴∠BA1C为A1B与平面A1C1CA所成的角，
在Rt△BA1C中，∠BA1C===，
∴A1B与平面A1C1CA所成角的正切值为．
（2）分别延长AC，A1D交于G，过C作CM⊥A1G于M，连接BM，
∴BM⊥A1G，∴∠CMB为二面角B-A1D-A的平面角，
平面A1CCA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点，
∴CG=2，DC=1，
∴在直角△CDG中，CM=．
∴tan，
故二面角B-A1D-A的平面角的正切值为．