Question

已知圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l：y=kx，且l与C相交于P、Q两点，点M（0，b），且MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=1时，求k的值；
（Ⅱ）当b∈（1，），求k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当b=1时，点M（0，b）在圆C上，当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．把圆心坐标（1，1）代入直线l：y=kx，可得k的值．
（Ⅱ）把直线l的方程代入圆的方程转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系以及，求得．令，则f（b）
在区间上单调递增，求得，可得 ，解此不等式求得k的取值范围（注意检验△＞0）．
【解析】
（Ⅰ）圆C：（x-1）2+（y-1）2=1，当b=1时，点M（0，b）在圆C上，
当且仅当直线l经过圆心C时，满足MP⊥MQ．…（2分）
∵圆心C的坐标为（1，1），∴k=1．…（4分）
（Ⅱ）由 ，消去y得：（1+k2）x2-2（1+k）x+1=0．①
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴．…（6分）
∵MP⊥MQ，∴．
∴（x1，y1-b）•（x2，y2-b）=0，即 x1x2+（y1-b）（y2-b）=0．
∵y1=kx1，y2=kx2，
∴（kx1-b）（kx2-b）+x1x2=0，即．…（8分）
∴，即 ．
令，则f（b）在区间上单调递增．
∴当时，．…（11分）
∴．
即 ，解得 ，
∴或．…（13分）
由①式得△=[2（1+k）]2-4（1+k2）＞0，解得k＞0．
∴，或．
∴k的取值范围是．…（14分）