Question

在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ADC，AB⊥BC，AD=CD，∠CAD=30°．若二面角C-AB-D为60°，求直线AC与平面ABD所成的角的正弦值．

Answer

设AD=a，F为AC的中点，取AB中点E，连接EF，ED，过F作FH⊥DE，交DE于H，则FH⊥AB，连接AH，则∠FAH就是直线AC与平面ABD所成的角的平面角，由此能求出直线AC与平面ABD所成的角的正弦值．
【解析】
设AD=a，F为AC的中点，
∵AD=CD，∴DF⊥AC．
∵平面ABC⊥平面ACD，∴DF⊥平面ABC，
∵∠CAD=30°，∴DF=，AF=，
取AB中点E，连接EF，ED，
∵AB⊥BC，∴EF⊥AB，
∴由三垂线定理，知DE⊥AB，
∴∠DEF是二面角C-AB-D的平面角，
∵二面角C-AB-D为60，∴∠DEF=60°，
∴EF=DF•cot60°==，
∴DE==，
∵DE⊥AB，FE⊥AB，DE∩FE=E，
∴AB⊥平面DEF．
过F作FH⊥DE，交DE于H，则FH⊥AB，
∵DE∩AB=E，∴FH⊥平面ABD，
连接AH，则∠FAH就是直线AC与平面ABD所成的角的平面角，
∵，∴HF===，
∴sin∠FAH===．
故直线AC与平面ABD所成的角的正弦值为．