Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是边长为2的正三角形，侧棱CC₁，AA₁，BB₁都与左右的两个底面垂直，D是侧棱CC₁中点，直线AD与侧面BB₁C₁C成角为45°．
（1）求此正三棱柱侧棱CC₁长；
（2）求二面角A-BD-C正切值．

Answer

（1）取BC中点O，连接AO，DO，则∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C成角，由此利用题设条件能求出此正三棱柱侧棱CC1长．
（2）以OC为x轴，以过O点平行于CC1的直线为y轴，以OA为z轴，建立空间直角坐标系，用向量法能求出二面角A-BD-C的正切值．
【解析】
（1）取BC中点O，连接AO，DO，则∠ADO是直线AD与侧面BB1C1C成角，
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，
∴AO==，
∵D是侧棱CC1中点，直线AD与侧面BB1C1C成角为45°，
∴CD==，
∴CC1=2DC=2．
（2）以OC为x轴，以过O点平行于CC1的直线为y轴，以OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，，0），
∴，=（1，，-），
设=（x，y，z）是平面ABD的一个法向量，则=0，，
∴，解得=（，-，-1）
设二面角A-BD-C的平面角为θ，
∵面BCD的一个法向量是=（0，0，），
∴cosθ=|cos＜，＞|=||=．
∴tanθ=3．
故二面角A-BD-C的正切值为3．