Question

如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）设M是线段BD上的一个动点，问当的值为多少时，可使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．

Answer

（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设M（t，t，0）．通过AM∥平面BEF，求出点M坐标为（2，2，0），即可得到的值．
（Ⅱ）求出平面BDE的法向量=（3，-3，0）和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．
【解析】
（Ⅰ） 当=时，可使得AM∥平面BEF．
证明过程如下：
因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以=tan60°=．
由AD=2可知DE=3，AF=．
则A（3，0，0），F（3，0，），E（0，0，3），
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以=（0，-3，），=（3，0，-2），（8分）
设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，，
∴，解得=（4，2，）．
点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则=（t-3，t，0），
因为AM∥平面BEF，所以•=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），=符合题意．
（Ⅱ）因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，
∵=（3，-3，0），平面BEF的法向量=（4，2，）．
所以cos＜＞==．
因为二面角为锐角，
所以二面角F-BE-D的余弦值为．（8分）