Question

已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2．
（1）试求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）试比较f（）与+2（n∈N）的大小．

Answer

（1）（Ⅰ）对于抽象函数的最值问题，可考虑此函数的单调性；
（Ⅱ）由题中条件：f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2，令，得，利用它进行放缩，可证得答案．
【解析】
（1）设0≤x1＜x2≤1，则必存在实数t∈（0，1），使得x2=x1+t，
由条件③得，f（x2）=f（x1+t）≥f（x1）+f（t）-2，
∴f（x2）-f（x1）≥f（t）-2，
由条件②得，f（x2）-f（x1）≥0，
故当0≤x≤1时，有f（0）≤f（x）≤f（1）．
又在条件③中，令x1=0，x2=1，得f（1）≥f（1）+f（0）-2，
即f（0）≤2，∴f（0）=2，
故函数f（x）的最大值为3，最小值为2．
（2）在条件③中，令，得，
即，
故当n∈N*时，有…，
即．
又，
所以对一切n∈N，都有．