Question

如图，已知平面α∥β∥γ，直线a，b分别交α，β，γ于点A，B，C和D，E，F，
（1）求证：；
（2）若AB=1，BC=2，AD=3，CF=6，当AD与CF所成的角为60时，求BE的长．

Answer

（1）连接AF，交β于点G，则点A，B，C，G共面，由β∥α，面ACF∩β=BG，面ACF∩γ=CF，知BG∥CF，，同理，，由此能够证明．
（2）连接BG，EG，由AB=1，BC=2，CF=6，，知BG=2，由，AD=3，知GE=2，再由AD与CF所成的角为60°，知∠BGE=60°或∠BGE=120°，由此能求出BE．
【解析】
（1）连接AF，交β于点G，则点A，B，C，G共面，
∵β∥α，面ACF∩β=BG，面ACF∩γ=CF，
∴BG∥CF，∴△ABG∽△ACF，
∴，
同理，有AD∥GE，，
∴．
（2）∵α∥β∥γ，AD⊂α，CF⊂γ，
且AD与CF所成的角为60，
∴AD与CF是异面直线．
连接BG，EG，
∵AB=1，BC=2，CF=6，，∴BG=2，
∵，AD=3，∴GE=2，
∵AD与CF所成的角为60°，∴∠BGE=60°或∠BGE=120°，
当∠BGE=60°时，△BGE为等边三角形，此时BE=2，
当∠BGE=120°时，BE2=BG2+GE2-2BG•GE•cos120°=12，
此时，综上所述，
BE=2或BE=．