Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4，AB=BC=2．
（1）若点P在底面ABC内的射影是点O，试指出点O的位置，并说明理由；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）先判断AB⊥BC，再根据PA=PB=PC，即可得到结论；
（2）利用线面垂直，可得面面垂直；
（3）取BC的中点为E，过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，则∠APF就是PA与平面PBC所成的角，由此可得结论．
（1）【解析】
∵AC=4，AB=BC=2，∴AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC

∵PA=PB=PC，∴点P在底面ABC内的射影O，满足OA=OB=OC
∴O是AC的中点；
（2）证明：由（1）知，PO⊥平面ABC．
∵PO⊂平面APC，
∴平面ABC⊥平面APC；
（3）【解析】
取BC的中点为E，过A作AF⊥平面PBC交平面PAC于F，则∠APF就是PA与平面PBC所成的角
∵PB=PC=4，BC=2，又BE=CE，∴BE⊥PE，BE=，
∴由勾股定理，有PE=．
∴S△PBC=BC×PE=×2×=2．
∴VA-PBC=S△PBC×AF=AF．
∵PA=PC=AC=4，∴S△PAC=AC×PD=4．
∵BD⊥平面PAC，∴VB-PAC=S△PAC×BD=．
∵VA-PBC=VB-PAC，∴AF=，∴AF=．
∴sin∠APF===．
∴PA与平面PBC所成角的正弦值为．