Question

在四棱锥P-ABCD中，△PBC为正三角形，AB⊥平面PBC，CD∥AB，，，E为PD中点．
（1）求证：直线AE∥平面PBC；
（2）求证：平面APD⊥平面PDC；
（3）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

Answer

（1）取PC的中点M，连接EM，利用三角形中位线的性质，可以得到四边形ABME是平行四边形，从而得出AE∥BM，最后用线面平行的判定定理可以证出AE∥平面PBC；
（2）利用线面垂直的性质结合AB∥CD，得到CD⊥平面PBC，从而得出CD⊥BM，再结合PC⊥BM，利用线面垂直的判定定理，得到BM⊥平面PDC，最后结合AE∥BM，得到AE⊥平面PDC，结合平面与平面垂直的判定定理，可得平面ADP⊥平面PDC；
（3）设BC=2a，求出S△PAD==，=，可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为=，即可求得结论．
（1）证明：取PC的中点M，连接EM，
∵△PCE中，E、M分别为PD、PC的中点
∴EM∥CD，EM=DC，
又∵CD∥AB且AB=DC，
∴EM∥AB，EM=AB，
∴四边形ABME是平行四边形．
∴AE∥BM，
∵AE⊄平面PBC，AE⊂平面PBC
∴AE∥平面PBC；
（2）证明：∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，
∴CD⊥平面PBC，
∵BM⊂平面PBC，∴CD⊥BM．
∵在正△PBC中，M是PC中点，∴BM⊥PC，
∵CD∩PC=C，CD、PC⊂平面PDC，
∴BM⊥平面PDC，
又∵AE∥BM，∴AE⊥平面PDC
∵AE⊂平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC；
（3）【解析】
设BC=2a，则△PAD中，AD=AP=a，PD=4a，∴AE=a，∴S△PAD==
∵=
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为=
∴平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°．