Question

已知A，B为抛物线y²=2x上两动点，O为坐标原点且OA⊥OB，若直线AB的倾斜角为135°，则S_△AOB=    ．

Answer

设出直线的方程与抛物线方程联立根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，然后利用配方法求得|x1-x2|，进而根据直线方程求得|y1-y2|，利用OA⊥OB垂直判断出二直线的斜率的乘积为-1求得m，代入三角形面积公式求得答案．
【解析】
设直线AB的方程为y=x-m，
联立，得x2-（2m+2）x+m2=0，
则x1+x2=2m+2，x1x2=m2，
∴|x1-x2|==，
∵三角形的面积为S△AOB=|my1-my2|=m（|x1-x2|）=m•；
又因为OA⊥OB，设A（x1，），B（x2，-），
所以x1x2-2=0，即m2-2m=0，解得m=0（舍），或m=2，
代入上式可得S△AOB=m•==2．
故答案为：2．