Question

已知点F（1，0），动点P到直线x=-2的距离比到F的距离大1．
（1）求动点P所在的曲线C的方程；
（2）A，B为曲线C上两动点，若|AF|+|BF|=4，求证：AB垂直平分线过定点，并求出该定点．

Answer

（1）根据抛物线定义可知曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，进而可得抛物线的方程．
（2）设AB中点M（1，y），先得出直线AB的斜率与其中点坐标的关系，再由垂直得出其垂线的斜率，由点斜式得出中垂线方程，发现其为一过定点的直线，得出此坐标即可．
【解析】
（1）由条件，P到F（1，0）的距离等于到直线x=-1的距离，
所以，曲线C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，其方程为y2=4x
（2）∵|AF|+|BF|=4，
∴x1+x2=2，
设AB中点M（1，y），
则
所以中垂线方程为：，
它恒过点（3，0）．
故AB垂直平分线过定点（3，0）．