Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P、Q分别是AB、AA₁、C₁D₁、CC₁的中点，给出以下四个结论：①AC₁⊥MN； ②AC₁∥平面MNPQ； ③AC₁与PM相交； ④NC₁与PM异面．其中正确结论的序号是    ．

Answer

①要证A1C⊥MN，由于AD1∥MN，则只需证A1C⊥AD1，即只需证AD1⊥面A1CD即可；
②由于A1C与MP交于一点，则A1C与平面MNPQ相交；
③④判定空间中直线与直线之间的位置关系，要紧扣定义来完成．
【解析】
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴A1D⊥AD1，
∵CD⊥面AA1D1D，AD1⊂面AA1D1D，
∴CD⊥AD1，
∴AD1⊥面A1CD，∴A1C⊥AD1
∵M，N分别是AA1，A1D1的中点，∴AD1∥MN，即A1C⊥MN，故①正确；
由于M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，
则A1C与PM相交，故②不正确，③正确；
∵N∉面ACC1A1，而M，P，C∈面ACC1A1，∴NC与PM异面，故④正确；
故答案为：①③④．